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Gruppo di Weyl

In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] In astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti.

Il gruppo di Weyl di un gruppo di Lie semisemplice, di un'algebra di Lie semisemplice, di un gruppo algebrico lineare semisemplice, ecc. è il gruppo di Weyl del sistema di radici di quel gruppo o algebra .

Definizione ed esempi

Sia

Φ {\displaystyle \Phi } un sistema di radici in uno spazio euclideo

V {\displaystyle V} . Per ogni radice

α ∈ Φ

{\displaystyle \alpha \in \Phi } , sia s

α {\displaystyle s_{\alpha }}

la riflessione rispetto all'iperpiano perpendicolare a α {\displaystyle \alpha }

, data esplicitamente da

dove ( ⋅

, ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} il prodotto interno su

V {\displaystyle V}

. Il gruppo di Weyl W {\displaystyle W}

di Φ

{\displaystyle \Phi } è il sottogruppo del gruppo ortogonale O (

V ) {\displaystyle O(V)} generato da tutti gli

s α

{\displaystyle s_{\alpha }} . Per definizione di sistema di radici, ciascuno degli

s α

{\displaystyle s_{\alpha }} conserva Φ

{\displaystyle \Phi } , da cui segue che W

{\displaystyle W} è un gruppo finito.

Nel caso del sistema di radici di

A 2

{\displaystyle A_{2}} , ad esempio, gli iperpiani perpendicolari alle radici sono solo linee e il gruppo di Weyl è il gruppo di simmetria di un triangolo equilatero, come indicato nella figura. Come un gruppo, W

{\displaystyle W} è isomorfo al gruppo di permutazione su tre elementi, considerabili come i vertici del triangolo. Si noti che in questo caso,

W {\displaystyle W} non è il gruppo di simmetria completo del sistema di radici; una rotazione di 60 gradi conserva

Φ {\displaystyle \Phi } ma non è un elemento di

W {\displaystyle W} .

Si consideri anche il sistema di radici A n

{\displaystyle A_{n}} . In questo caso,

V {\displaystyle V} è lo spazio di tutti i vettori in

R

n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}

le cui entrate si sommano a zero. Le radici sono costituite dai vettori della forma e

i − e j

, i ≠ j

{\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j} , dove

e i {\displaystyle e_{i}}

è l' i

{\displaystyle i} -esimo elemento base standard per

R n + 1

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} . La riflessione associata a tale radice è la trasformazione di

V {\displaystyle V} ottenuto scambiando il

i {\displaystyle i} - e

j {\displaystyle j} -esimi elementi di ciascun vettore. Il gruppo di Weyl per

A n

{\displaystyle A_{n}} è allora il gruppo di permutazione su

n + 1 {\displaystyle n+1}

elementi.

Camere di Weyl

Se Φ ⊂

V {\displaystyle \Phi \subset V} è un sistema di radici, si può considerare l'iperpiano perpendicolare a ciascuna radice

α {\displaystyle \alpha } . Si ricordi che

s α

{\displaystyle s_{\alpha }} denota la riflessione sull'iperpiano e che il gruppo di Weyl è il gruppo di trasformazioni di

V {\displaystyle V} generato da tutti i

s α

{\displaystyle s_{\alpha }} . Il complemento dell'insieme degli iperpiani è disconnesso e ogni componente connesso è chiamato camera di Weyl. Se abbiamo fissato un particolare insieme di radici semplici, possiamo definire la camera fondamentale di Weyl associata a come l'insieme dei punti v

∈ V {\displaystyle v\in V} tale che

( α , v ) >

0 {\displaystyle (\alpha ,v)>0} per ogni

α ∈ Δ {\displaystyle \alpha \in \Delta }

.

Dal momento che le riflessioni s

α {\displaystyle s_{\alpha }} ,

α ∈ Φ

{\displaystyle \alpha \in \Phi } , conservano Φ

{\displaystyle \Phi } , conservano anche l'insieme degli iperpiani perpendicolari alle radici. Pertanto, ogni elemento del gruppo di Weyl permuta le camere di Weyl.

La figura illustra il caso del sistema di radici

A 2

{\displaystyle A_{2}} . Gli "iperpiani" (in questo caso, unidimensionali) ortogonali alle radici sono indicati da linee tratteggiate. I sei settori di 60 gradi sono le camere di Weyl e la regione ombreggiata è la camera di Weyl fondamentale associata alla base indicata.

Un teorema generale di base sulle camere di Weyl è questo:

Un risultato correlato è questo:

Struttura di gruppo di Coxeter

Gruppo generatore

Un risultato chiave sul gruppo di Weyl è il seguente:

Vale a dire, il gruppo generato dalle riflessioni s α

, α ∈ Δ ,

{\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,} è lo stesso del gruppo generato dalle riflessioni

s α ,

α ∈ Φ {\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi } .

Relazioni

Nel frattempo, se α

{\displaystyle \alpha } e β

{\displaystyle \beta } sono in Δ

{\displaystyle \Delta } , quindi il diagramma di Dynkin per

Φ {\displaystyle \Phi } rispetto alla base

Δ {\displaystyle \Delta } dice qualcosa su come la coppia

{ s α

, s β

} {\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}} si comporta. In particolare, si supponga che

v {\displaystyle v} e

v ′

{\displaystyle v'} sono i vertici corrispondenti nel diagramma di Dynkin. Allora abbiamo i seguenti risultati:

L'affermazione precedente non è difficile da verificare, ricordando semplicemente cosa dice il diagramma di Dynkin sull'angolo tra ciascuna coppia di radici. Se, per esempio, non c'è legame tra i due vertici, allora α

{\displaystyle \alpha } e

β {\displaystyle \beta } sono ortogonali, da cui segue facilmente che le riflessioni corrispondenti commutano. Più in generale, il numero di legami determina l'angolo

θ {\displaystyle \theta } tra le radici. Il prodotto delle due riflessioni è quindi una rotazione per angolo

2 θ {\displaystyle 2\theta }

nel piano attraversato da α {\displaystyle \alpha }

e β

{\displaystyle \beta } , come il lettore potrà verificare, da cui consegue facilmente la suddetta affermazione.

Come gruppo di Coxeter

I gruppi di Weyl sono esempi di gruppi di riflessione finiti, in quanto generati da riflessioni; i gruppi astratti (non considerati come sottogruppi di un gruppo lineare) sono di conseguenza gruppi di Coxeter finiti, il che consente loro di essere classificati dal loro diagramma di Coxeter-Dynkin. Essere un gruppo di Coxeter significa che un gruppo di Weyl ha un tipo speciale di presentazione in cui ogni generatore

x i

{\displaystyle x_{i}} è di ordine due, e le relazioni diverse da x

i 2 =

1 {\displaystyle x_{i}^{2}=1} sono della forma

( x i

x j )

m i j

= 1 {\displaystyle (x_{i}x_{j})^{m_{ij}}=1}

. I generatori sono le riflessioni date da semplici radici, e m i j {\displaystyle m_{ij}} è 2, 3, 4 o 6 a seconda che le radici i e j formino un angolo di 90, 120, 135 o 150 gradi, cioè se nel diagramma di Dynkin sono scollegati, collegati da un arco semplice, collegati da un doppio arco o collegati da un triplo arco. Abbiamo già notato queste relazioni nell'elenco puntato sopra, ma per dire che W {\displaystyle W} è un gruppo di Coxeter, stiamo dicendo che queste sono le uniche relazioni in W {\displaystyle W} .

I gruppi di Weyl hanno un ordine di Bruhat e una funzione di lunghezza in termini di questa presentazione: la lunghezza di un elemento del gruppo di Weyl è la lunghezza della parola più corta che rappresenta quell'elemento in termini di questi generatori standard. C'è un unico elemento più lungo di un gruppo di Coxeter, che è opposto all'identità nell'ordine di Bruhat.

Note

Bibliografia

Voci correlate